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If the presheaves or sheaves considered are provided with additional algebraic structure, these maps are assumed to be homomorphisms.
en.wikipedia.org
Generalizations such as cobordism also have induced homomorphisms.
en.wikipedia.org
For example, the forgetful functor from the category of join-semilattices (and their homomorphisms) to the category of sets (and functions) admits a left adjoint.
en.wikipedia.org
Interpreting subgroup and quotients in light of these homomorphisms emphasizes the structural concept inherent to these definitions alluded to in the introduction.
en.wikipedia.org

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