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Compatible here means that addition and scalar multiplication have to be continuous maps.
en.wikipedia.org
The space of sequences has a natural vector space structure by applying addition and scalar multiplication coordinate by coordinate.
en.wikipedia.org
In the last three cases the scalar multiplication by an element of the base ring (or field) is defined as::, where.
en.wikipedia.org
This set inherits the module structure via component-wise addition and scalar multiplication.
en.wikipedia.org
The cross symbol generally denotes a vector multiplication, while the dot denotes a scalar multiplication.
en.wikipedia.org